Permutaciones y Combinaciones

Permutaciones y Combinaciones

Para entender lo que son las permutaciones es necesario definir lo que es una combinación y lo que es una permutación para establecer su diferencia y de esta manera entender claramente cuando es posible utilizar una combinación y cuando utilizar una permutación al momento de querer cuantificar los elementos de algún evento.

Permutaciones

Es todo arreglo de elementos en donde nos interesa el lugar o posición que ocupa cada uno de los elementos que constituyen dicho arreglo.

Combinaciones

Es todo arreglo de elementos en donde no nos interesa el lugar o posición que ocupa cada uno delos elementos que constituyen dicho arreglo.

¿Qué diferencia hay?

Normalmente usamos la palabra "combinación" descuidadamente, sin pensar en si el orden de las cosas es importante. En otras palabras:

"Mi ensalada de frutas es una combinación de manzanas, uvas y bananas": no importa en qué orden pusimos las frutas, podría ser "bananas, uvas y manzanas" o "uvas, manzanas y bananas", es la misma ensalada.

"La combinación de la cerradura es 472": ahora sí importa el orden. "724" no funcionaría, ni"247". Tiene que ser exactamente 4-7-2. Así que en matemáticas usamos un lenguaje más preciso:

-Si el orden no importa, es una combinación.

-Si el orden sí importa es una permutación.

¡Así que lo de arriba se podría llamar "cerradura de permutación"! Con otras palabras: Una permutación es una combinación ordenada.

Hay dos tipos de permutaciones:

Se permite repetir: como la cerradura de arriba, podríaser"333".

Sin repetición: por ejemplo los tres primeros en una carrera. No puedes quedar primero y segundo a la vez.

Ejemplo:

Si el número de placa de un carro tiene tres letras seguidas de dos dígitos ¿Cuántas placas indican el número de matrícula de un vehículo, SI SE PERMITEN REPETICIONES? ¿Cuántas SI NO SE PERMITEN REPETICIONES?

Para empezar a solucionar este problema vamos a analizar lo que nos piden y dicen en el problema:

 

El numero 27 representa al número de letras que existen (A, B, C, D, E…) y el 10 representa a los dígitos que pueden ir en la placa del carro, ya que en el sistema decimal se encuentran los números del 0 al 9, los cuales son dígitos que SIEMPRE se usan sin importar la cantidad.

Ahora vamos a la resolución del problema:

1-CON REPETICIONES:

Para la parte de las letras hay 27 posibilidades y para los números 10, y como se permiten repeticiones se ponen todas iguales ya que una letra se puede repetir varias veces o número en la placa del carro.

27x 27 x 27  x  10 x 10 = 196 8300

2-SIN REPETICIONES:

Para la parte de las letras igual hay 27 posibilidades y para los números igual 10, nada más que en este caso vamos a restarle a las posibilidades ¿y esto porque? Porque cada vez que usted utilice una letra ya está restando las posibilidades… porque al ocupar una letra ya no se puede utilizar más y le da la posibilidad a otra diferente, por eso se resta.

27 x 26 x 25  x  10 x 9 = 157 9500 

Respuestas:

1-Hay 196 8300 de posibles combinaciones con repetición para la placa del carro.

2-Hay 157 9500 de posibles combinaciones sin repetición para la placa del carro. 

¿Cómo se aplican los métodos de conteo en nuestra vida cotidiana?

En muchos casos de la vida cotidiana es común que se tenga que elegir entre una u otra cosa; no habrá gran dificultad si son pocas las formas entre las que se debe elegir. Por ejemplo, si debes elegir entre usar pantalón azul o negro y si usaras zapatos o tenis, no tendrás mucha dificultad porque solo tendrás que elegir entre alguna de las cuatro formas que se pueden combinar: pantalón azul con zapatos, pantalón azul con tenis, pantalón negro con zapatos, o pantalón negro con tenis.

Las dificultades se presentarían al realizar el conteo de las formas diferentes a elegir cuando interviene un mayor número de elementos. Por ejemplo, si te dijeran que debes formar equipos de 4 personas de un grupo formado por 22 mujeres y 18 hombres, o si te pidieran que determinaras el número de placas diferentes que se pueden formar usando tres letras seguidas de tres números, en estos casos las cosas cambian pues enumerar los posibles sucesos que ocurren en una situación dada se convierte en algo difícil o tedioso.

Las técnicas de conteo son una herramienta útil para enumerar los elementos de una técnica de conteo.

Ejemplo:

¿De cuántas maneras pueden repartirse 3 premios a un conjunto de 10 personas, suponiendo que cada persona no puede obtener más de un premio?

Aplicando el principio fundamental del conteo, tenemos 10 personas que pueden recibir el primer premio.

 Una vez que éste ha sido entregado, restan 9 personas para recibir el segundo, y posteriormente quedarán 8 personas para el tercer premio. De ahí que el número de maneras distintas de repartir los tres premios.

10 x 9 x 8 = 720

Respuesta: puede repartirse de 720 maneras.